응력-변형률 곡선의 숨겨진 진실 : 공학 vs 실제!

🤔 왜 우리가 알고 있던 응력-변형률 곡선은 완전한 진실이 아닐까? 

여러분은 재료의 강도를 분석할 때 가장 기본이 되는 응력-변형률 곡선에 대해 얼마나 알고 계신가요? 혹시 인장 시험을 통해 얻은 일반적인 응력-변형률 곡선이 실제 재료의 거동을 완벽하게 나타내지 못한다는 사실을 알고 계셨나요? 놀랍게도 우리가 흔히 사용하는 이 곡선은 실제 응력과 변형률에 대한 근사치에 불과합니다. 그렇다면 실제 재료의 거동을 정확하게 파악하기 위해서는 무엇을 고려해야 할까요? 오늘 이 글을 통해 그 궁금증을 해결하고, 진정한 응력-변형률 관계에 대해 알아보는 시간을 갖도록 하겠습니다! 🚀

 

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1. 공학 응력-변형률 곡선 : 익숙하지만 불완전한 진실 🏗️

공학 응력-변형률 곡선 (출처:The Efficient Engineer)

 

우리가 학교에서 배우고 일반적으로 사용하는 응력-변형률 곡선은 사실 '공학 응력(Engineering Stress)'과 '공학 변형률(Engineering Strain)'을 기반으로 합니다.

• 공학 응력($\sigma _{E}$) : 가해진 힘을 초기 단면적으로 나눈 값입니다.

$$\sigma _{E} = \frac{P}{A_{0}}$$

    (여기서 P는 가해진 힘, A0​는 초기 단면적)

• 공학 변형률($\varepsilon _{E}$​) : 시편 길이의 변화량을 초기 길이로 나눈 값입니다.

$$\varepsilon _{E} = \frac{\Delta L}{L_{0}}$$

   ​ (여기서 ΔL은 길이 변화량, L0​는 초기 길이)

 

이러한 정의는 인장 시험 중 시편의 크기 변화를 고려하지 않기 때문에 실제 응력 및 변형률과는 차이가 발생합니다. 특히 재료가 항복점을 지나 소성 변형을 시작하면서 단면적이 급격히 줄어들고 길이가 늘어나기 때문에, 초기 단면적과 초기 길이를 기준으로 계산된 공학 응력 및 변형률은 실제 재료 내부의 응력 상태를 정확하게 반영하지 못하게 됩니다.

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2. 실제 응력-변형률 곡선 : 재료의 진정한 모습을 만나다 ✨

 

그렇다면 실제 응력과 변형률은 어떻게 정의될까요? '실제 응력(True Stress)'과 '실제 변형률(True Strain)'은 인장 시험이 진행되는 동안 시편의 순간적인 치수 변화를 고려합니다.

• 실제 응력($\sigma _{T}$) : 가해진 힘을 순간 단면적으로 나눈 값입니다.

$$\sigma _{T} = \frac{P}{A_{i}}$$

   ​ (여기서 Ai​는 순간 단면적)

• 실제 변형률($\varepsilon _{T}$​) : 시편의 순간 길이 변화량을 순간 길이로 나눈 값을 누적하여 계산합니다.

이러한 실제 값들을 사용하여 얻은 곡선은 공학 응력-변형률 곡선과는 확연히 다른 형태를 보입니다. 가장 큰 차이점은 네킹(Necking) 현상 이후에 나타납니다. 네킹은 인장 시편의 단면적이 급격히 줄어드는 현상으로, 공학 응력-변형률 곡선에서는 극한 인장 강도(Ultimate Tensile Strength, UTS)에 도달한 후 응력이 감소하는 것처럼 보입니다. 하지만 실제 응력-변형률 곡선은 네킹 이후에도 계속해서 증가하는 추세를 보입니다. 이는 실제로는 단면적 감소로 인해 단위 면적당 작용하는 힘, 즉 실제 응력은 계속해서 증가하고 있기 때문입니다. 📈

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3. 왜 대부분의 엔지니어는 공학 곡선을 사용할까? 🤔

그렇다면 실제 응력-변형률 곡선이 재료의 실제 거동을 더 정확하게 나타낸다면, 왜 엔지니어들은 여전히 공학 곡선을 더 흔하게 사용할까요? 여기에는 두 가지 주요 이유가 있습니다.

1. 측정의 어려움 📏: 인장 시험 중에 시편의 순간적인 단면적을 정확하게 측정하는 것은 매우 어렵습니다. 대부분의 경우, 이러한 측정을 위한 장비나 기술이 충분하지 않아 실제 응력-변형률 곡선을 직접 얻기 어렵습니다.
2. 설계 및 분석의 범위 🎯: 대부분의 공학 설계 및 분석은 재료가 탄성 영역 내에서 변형될 때를 가정합니다. 그림에서 볼 수 있듯이, 작은 변형률 값에서는 공학 곡선과 실제 곡선이 거의 일치합니다. 따라서 탄성 영역 내에서의 설계에서는 공학 곡선을 사용해도 큰 문제가 없습니다.

 

하지만 큰 소성 변형이 발생하는 경우에는 이야기가 달라집니다. 특히 네킹 현상으로 인해 단면적이 급격히 감소하는 경우, 두 곡선 간의 차이는 매우 커지므로 실제 응력-변형률 곡선을 사용하는 것이 중요해집니다.

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4. 실제 응력-변형률 곡선이 필수적인 경우 🛠️

실제 응력-변형률 곡선이 반드시 필요한 경우는 언제일까요? 주로 재료가 큰 소성 변형을 겪는 상황에서 그 중요성이 부각됩니다.

• 제조 공정 분석 : 금속 성형, 압연, 단조와 같이 재료가 심하게 변형되는 제조 공정을 분석할 때는 실제 응력-변형률 곡선을 사용하여 재료의 거동을 정확하게 예측해야 합니다.
• 대변형을 모델링하는 유한 요소 해석 (FEA) : 유한 요소 해석에서 큰 변형을 모델링할 때는 공학 곡선 대신 실제 응력-변형률 곡선을 입력 데이터로 사용하여 더욱 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. 이는 재료의 비선형적 거동을 정확히 예측하는 데 필수적입니다.

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5. 공학 곡선으로부터 실제 곡선을 도출하는 방법 💡

다행히도 우리는 인장 시험 중 순간 단면적을 직접 측정하지 않고도 공학 곡선으로부터 실제 응력-변형률 곡선을 계산할 수 있습니다. 몇 가지 가정을 통해 공학 응력과 변형률로부터 실제 응력과 변형률을 유도할 수 있습니다.

5.1. 실제 응력 유도 🏋️

실제 응력은 가해진 힘을 순간 단면적으로 나눈 값입니다. 실제 응력 식을 산정하기 위해 시험편의 부피가 일정하게 유지된다는 가정을 사용합니다.

• 가정의 유효성:
  • 탄성 영역 : 탄성 영역에서의 부피 변화는 매우 작으므로 이 가정은 유효합니다.
  • 소성 영역 : 소성 변형 중에는 재료가 비압축성(incompressible)으로 간주되므로, 이 가정이 유효합니다.

이 가정을 적용하면, 초기 부피($V_{0} = A_{0} L_{0}$​)와 순간 부피($V_{i} = A_{i} L_{i}$)가 같다고 볼 수 있습니다. 즉, $A_{0}L_{0} = A_{i}L_{i}$ 입니다.

 

이 식을 정리하여 순간 단면적(Ai​)에 대해 나타내면 $A_{i} = \frac{A_{0}L_{0}}{L_{i}}$ 가 됩니다. 이를 실제 응력 식에 대입하면 다음과 같습니다.

 

$$\sigma _{T} = \frac{P}{A_{i}} = \frac{P}{\frac{A_{0}L_{0}}{L_{i}}} = \frac{P}{A_{0}}\cdot \frac{L_{i}}{L_{0}}​$$​

 

여기서 $\frac{P}{A_0}$는 공학 응력($\sigma_E$)이고, $\frac{L_i}{L_0}$는 다음과 같이 공학 변형률로 표현할 수 있습니다.

 

공학 변형률 $\varepsilon _{E} = \frac{\Delta L}{L_{0}} = \frac{L_{i} - L_{0}}{L_{0}} = \frac{L_{i}}{L_{0}} - 1$

따라서 $\frac{L_{i}}{L_{0}} = 1 + \varepsilon _{E}$ 입니다.

 

최종적으로 실제 응력은 공학 응력과 공학 변형률의 함수로 표현될 수 있습니다.

$$\sigma _{T} = \sigma _{E} (1+\varepsilon _{E})$$

 

단, 이 가정은 네킹이 발생한 후에는 유효하지 않습니다. 네킹 이후에는 단면적 변화가 심해지므로 실제 단면적을 측정해야 합니다. ⚠️

 

5.2. 실제 변형률 유도 📈

실제 변형률은 시편의 초기 길이가 시험 내내 지속적으로 변화한다는 사실을 고려해야 합니다. 이를 계산하기 위해 미소 변형률 변화(dϵT​)를 누적하는 방법을 사용합니다.

 

따라서 실제 변형률은 공학 변형률의 함수로 표현될 수 있습니다.

$$\varepsilon _{T} = ln(1 + \varepsilon _{E})$$

 

이러한 형태 때문에 실제 변형률은 로그 변형률(Logarithmic Strain) 또는 '자연 변형률(Natural Strain)'이라고도 불립니다. 🌿

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💡결론 : 더 깊은 이해를 위한 실제 응력-변형률 곡선 

 

우리가 흔히 접하는 공학 응력-변형률 곡선은 인장 시험의 초기 단면적과 길이를 기준으로 하기 때문에 편리하게 사용할 수 있지만, 재료가 소성 변형을 겪으면서 발생하는 실제적인 단면적 및 길이 변화를 반영하지 못하는 한계가 있습니다. 특히 네킹 현상 이후에는 실제 응력이 계속 증가함에도 불구하고 공학 응력이 감소하는 것처럼 보이는 착시를 유발합니다. 반면 실제 응력-변형률 곡선은 시험 중 시편의 순간적인 치수 변화를 고려함으로써 재료의 진정한 기계적 거동을 정확하게 나타냅니다.

 

대부분의 엔지니어링 설계는 탄성 영역 내에서 이루어지므로 공학 곡선으로도 충분하지만, 금속 성형과 같은 대규모 소성 변형이 발생하는 제조 공정 분석이나 '유한 요소 해석(FEA)'과 같이 정밀한 모델링이 필요한 경우에는 실제 응력-변형률 곡선의 사용이 필수적입니다.

 

또한, 시험 중 직접 측정하기 어려운 순간 단면적 변화를 가정하여 공학 응력-변형률 값으로부터 실제 응력(σT​=σE​(1+ϵE​))과 실제 변형률(ϵT​=ln(1+ϵE​))을 계산할 수 있으므로, 실제 곡선을 활용하는 것이 더욱 용이해집니다.

 

이러한 실제 응력-변형률 곡선에 대한 이해는 재료의 거동을 더 깊이 이해하고, 더욱 정확하고 안전한 설계를 가능하게 하는 중요한 열쇠가 될 것입니다. 재료의 진정한 모습을 파악함으로써 우리는 더 나은 제품을 만들고, 더 효율적인 공정을 개발할 수 있습니다. 여러분의 공학적 지식을 한 단계 더 끌어올리는 데 이 글이 도움이 되었기를 바랍니다! 😊

 

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