💡응력변환과 모어원(Mohr's Circle) 완전정복!!!

 

1. 궁금하지 않으셨나요? 왜 특정 면에서 파괴가 시작될까?

토목 구조물이나 기계 부품이 파괴될 때, 그 원인은 단순히 하나의 힘이 너무 커서가 아닙니다. 같은 힘이 작용하더라도 어떤 면에서는 안전하고, 다른 면에서는 위험할 수 있다는 사실, 알고 계셨나요? 🤔

응력은 단순한 숫자가 아니라, 방향과 면에 따라 그 성질이 완전히 달라집니다. 그래서 우리는 단순한 힘이 아닌 ‘응력 상태’를 이해해야 하며, 이것이 바로 구조역학에서 ‘응력변환’과 ‘모어 원(Mohr’s Circle)’이 중요한 이유입니다.

이번 글에서는 어렵게 느껴질 수 있는 응력변환 개념과 모어 원을 이해하기 쉽게, 그리고 실무에 직접 활용할 수 있도록 상세하게 설명드리겠습니다.

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 2. 응력 요소란 무엇인가요?

2.1 한 점에서의 응력 상태

구조물 내 한 점에는 여러 방향으로 힘이 작용할 수 있습니다. 이 점을 중심으로 아주 작은 정육면체를 생각하면, 여섯 개의 면에서 수직응력(σ)과 전단응력(τ)이 작용하는 것을 상상할 수 있습니다.

• 수직응력 (Normal Stress) : 면에 수직으로 작용하는 힘. 예: σₓ, σᵧ
• 전단응력 (Shear Stress) : 면에 평행하게 작용하는 힘. 예: τₓᵧ, τᵧₓ

구조 해석에서는 보통 평면응력 상태(Plane Stress)를 가정하고 2차원으로 단순화하여 분석합니다. 이 경우 주로 다루는 응력 요소는 σₓ, σᵧ, τₓᵧ입니다.

평면응력상태 (출처:The Efficient Engineer)

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 3. 응력요소의 방향을 바꾸면 무엇이 달라질까?

3.1 응력 요소의 회전

부재가 받는 하중 방향이 일정하더라도, 우리가 관찰하는 면을 회전시키면 그 면에 작용하는 응력의 종류와 크기는 달라집니다. 예를 들어 용접이 특정 각도로 되어 있는 경우, 그 용접면에서의 응력을 구하는 것이 중요합니다.

👉 그래서 응력 변환이 필요합니다. 회전된 좌표계에서의 응력을 수학적으로 계산해주는 것이죠.

응력요소의 회전 (용접면에서의 응력)

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 4. 응력변환식 📐 – 수식으로 이해하는 응력의 변화

응력 요소를 θ만큼 회전시켰을 때, 새 좌표계에서의 수직응력과 전단응력은 다음과 같이 계산됩니다.

응력변환식 (출처:The Efficient Engineer)

 

💡 이 수식들을 통해 특정 각도에서의 응력 상태를 계산할 수 있지만, 수식은 복잡하고 직관적이지 않다는 단점이 있습니다. 그래서 더 쉬운 방법이 있습니다. 바로 ‘모어 원’입니다!

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 5. 시각적으로 이해하자! 🌀 모어 원(Mohr’s Circle)의 개념

모어 원은 응력 상태를 그래픽으로 표현한 도구입니다. 응력변환식을 사용하지 않고도, 회전된 응력 요소에서의 수직응력과 전단응력을 쉽게 파악할 수 있도록 도와줍니다.

 5.1 모어 원의 구성 방법

1. 가로축(σ)과 세로축(τ)을 설정합니다.
2. 점 A (σₓ, τₓᵧ), 점 B (σᵧ, -τₓᵧ)를 좌표평면에 표시합니다.
3. AB를 이은 직선의 중점을 중심으로 반지름 길이만큼 원을 그립니다. 

모어원의 구성 (출처:The Efficient Engineer)

 

이 원 위의 모든 점은 특정 각도로 회전시켰을 때 해당 면에서의 응력 상태를 나타냅니다.

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 6. 주응력과 주평면 – 구조물이 가장 위험한 방향은?

📏 모어원을 이용한 주응력 산정 :

모어원을 이용한 주응력 산정 (출처:The Efficient Engineer)

모어 원의 가로축과 만나는 두 점은 전단응력이 0인 상태, 즉 '주응력(Principal Stress)'이 작용하는 상태를 의미합니다.

• σ₁ : 최대 주응력 (모어 원의 오른쪽 교점)
• σ₂ : 최소 주응력 (왼쪽 교점)
• 주응력의 방향을 이루는 각도 : θₚ (주평면의 각도)

🎯 주응력은 구조물이 파괴되는 방향을 예측하는 데 핵심이 됩니다. 특히 콘크리트와 같은 재료는 인장에 약하기 때문에 σ₁의 크기와 위치가 매우 중요합니다.

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 7. 최대 전단응력은 어디에서 발생할까?

📏 최대전단응력(반지름 r)은 :

최대전단응력 (모어원의 반지름)

모어 원의 가장 위쪽과 아래쪽 점은 최대 전단응력이 작용하는 위치를 나타냅니다.

• 최대 전단응력 τ_max = 반지름 r
• 이 방향에서의 수직응력은 평균응력 σ_avg

전단 파괴가 우려되는 설계에서는 이 값을 반드시 확인해야 합니다. 🛠️

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각도의 차이 이해하기 – 모어 원 vs 실제 좌표계

모어 원에서의 각도는 실제 응력 요소 회전 각도의 두 배(2θ)임을 기억하세요! 이는 모어 원이 응력을 쌍으로 회전시킨 결과이기 때문입니다.

따라서:

• 주응력 사이의 각도 차는 실제로 90°, 모어 원에서는 180°
• 최대 전단응력 위치도 마찬가지로 실제 좌표계에서는 45° 차이입니다

  📌 마무리하며 

응력변환과 모어 원은 단순한 수학 공식이나 학문적인 개념에 그치지 않고, 구조물의 안전성을 확보하기 위한 매우 실용적인 도구입니다. 구조물의 어느 면에서 균열이 발생하거나 파괴가 일어날지를 예측하기 위해서는, 단순히 외부 하중의 크기만을 보는 것이 아니라, 해당 하중이 구조물 내부의 어떤 면에서 어떻게 작용하는지를 분석해야 합니다. 바로 이 지점에서 ‘응력변환’이 중요한 역할을 하며, 회전된 좌표계에서의 응력 상태를 정량적으로 분석할 수 있는 수단을 제공합니다.

 

하지만 수식만으로는 이해가 어렵고 직관적으로 다가오기 힘들기 때문에, 이를 시각적으로 표현한 ‘모어 원’은 구조물 내부 응력의 분포와 방향성을 한눈에 파악할 수 있는 강력한 도구로 활용됩니다. 모어 원을 통해 우리는 주응력과 최대 전단응력의 크기와 방향, 그리고 그에 따른 구조물의 취약 방향을 빠르게 추론할 수 있습니다. 이는 곧 부재의 설계뿐만 아니라 피로, 파괴, 균열 등의 예측과 방지, 그리고 정밀안전진단 및 보수·보강 계획 수립에도 매우 중요한 기초 자료가 됩니다.

 

결국, 응력변환과 모어 원을 이해한다는 것은 단순한 계산을 넘어서 구조물 내부에서 실제로 어떤 일이 벌어지고 있는지를 ‘보는 눈’을 갖는 것과 같습니다. 구조해석의 시작이자 기본이 되는 이 개념은 토목 구조물뿐 아니라 기계, 항공, 재료 등 다양한 공학 분야에서 반드시 숙지해야 할 핵심 내용이며, 실무자라면 누구나 이를 숙달하고 자유롭게 활용할 수 있어야 합니다.

 

지금까지의 내용을 바탕으로, 독자 여러분께서도 응력변환과 모어 원의 개념을 좀 더 명확하게 이해하고, 실무에 적극적으로 활용해보시기 바랍니다. 이를 통해 보다 정확하고 신뢰성 있는 구조물 설계와 평가가 가능해질 것입니다.

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