🔍 파괴는 언제, 어떻게 일어날까? 파괴이론(Failure Theory)

이번 시간에는 파괴이론에 대해 알아 보도록 하겠습니다!

부재에 하중을 증가하면 언젠가는 재료가 파괴된다는 사실, 모두 알고 계실 겁니다. 🏗️ 하지만 정적 파괴가 언제 발생할지 정확히 예측하는 것은 쉬운 일이 아닙니다. 이런 정적파괴 발생을 예측하는 방법에는 어떠한 방법이 있을까요? 그리고 부재의 응력이 어느 수준에 도달해야 파괴가 일어날까요? 이런 의문들을 해결하기 위해 우리는 '파괴 이론'에 대해 알아 보도록 하겠습니다. 이 글에서는 파괴 이론의 핵심 개념들을 명확히 설명하고, 다양한 파괴 이론들을 비교 분석하여 여러분의 설계 및 분석에 실질적인 도움이 되었으면 합니다.💡

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1. 파괴의 정의 : 연성 vs. 취성 재료 🔍

가장 먼저 '파괴'가 무엇인지 명확하게 정의해야 합니다. 재료의 종류에 따라 파괴의 양상이 크게 달라지기 때문입니다.

• 연성 재료 (Ductile Materials) : 철, 구리, 알루미늄과 같은 연성 재료의 경우, 일반적으로 소성 변형의 시작점을 파괴로 간주합니다. 소성 변형은 재료가 영구적으로 변형되기 시작하는 지점을 의미합니다. 🔄
• 취성 재료 (Brittle Materials) : 주철, 유리와 같은 취성 재료는 소성 변형 없이 갑작스럽게 '파단(fracture)'이 발생하는 시점을 파괴로 봅니다. 💥

연성재료, 취성재료의 파괴 (출처: The Efficient Engineer)

 

일축 응력 상태, 예를 들어 인장 시험에서는 이러한 파괴점을 쉽게 정의할 수 있습니다. 연성 재료는 응력이 재료의 항복 강도에 도달할 때, 취성 재료는 극한 강도에 도달할 때 파괴가 발생한다고 봅니다. 하지만 3축 응력과 같이 복잡한 응력 상태에서는 파괴를 예측하는 것이 훨씬 까다로워집니다.

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2. 파괴 이론의 필요성 : 왜 단일 이론으로는 부족한가? 🤔

3축 응력 상태에서는 보편적으로 적용 가능한 파괴 예측 방법이 없는 것이 현실입니다. 대신, 우리는 다양한 파괴 이론들 중에서 특정 상황에 가장 적합한 것을 선택하여 파괴를 예측해야 합니다. 이는 수많은 실험을 통해 각 이론이 특정 조건에서 비교적 잘 일치한다는 것이 입증되었기 때문입니다.

 

연성 재료와 취성 재료는 근본적으로 다른 방식으로 파괴되기 때문에, 연성 재료에 적용되는 파괴 이론은 일반적으로 취성 재료에는 적용할 수 없으며 그 반대도 마찬가지입니다.

 

그렇다면 파괴 이론은 무엇을 뜻하는 것일까요? 간단히 말해서, 파괴 이론은 우리가 평가하는 부재의 응력 상태를 재료의 항복 강도나 극한 강도와 같이 일축 시험을 통해 쉽게 결정할 수 있는 재료 특성과 비교하여 재료의 파괴를 예측할 수 있도록 해줍니다. 한 지점의 응력 상태는 세 개의 주응력(principal stresses)을 사용하여 설명할 수 있으므로, 대부분의 파괴 이론은 주응력과 재료 강도의 함수로 정의됩니다.

 

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3. 주응력 이론의 한계 : 단순하지만 부정확한 예측 📉

최대 주응력 이론, 랭킨 이론

 

아마도 가장 간단한 파괴 이론은 최대 또는 최소 주응력이 재료의 항복 또는 극한 강도에 도달할 때 파괴가 발생한다고 말하는 것입니다. 이것을 최대 주응력 이론(Maximum Principal Stress theory) 또는 '랭킨 이론(Rankine theory)'이라고 부릅니다. 적용하기는 간단하지만, 특히 연성 재료의 경우 좋은 파괴 이론이라고 할 수 없습니다.

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4. 연성 재료를 위한 더 나은 파괴 이론 : 정수압 응력의 영향 이해하기 💧

연성 재료를 위한 더 나은 파괴 이론들을 살펴보겠습니다. 좋은 파괴 이론이라면 재료가 파괴되는 방식에 대한 실험적 관찰과 일치해야 합니다. 연성 재료의 파괴 이론이 포착해야 할 한 가지 중요한 관찰은 정수압 응력(hydrostatic stresses)이 연성 재료의 항복을 유발하지 않는다는 사실입니다.

 

 

이것이 무슨 의미일까요? 여기에 표시된 것과 같은 일반적인 3축 응력 상태는 부피 변화를 유발하는 응력과 형상 변형을 유발하는 응력으로 분해될 수 있습니다.

• 정수압 응력 (Hydrostatic Stresses) : 부피 변화를 유발하는 응력을 정수압 응력이라고 합니다. 이는 액체에 잠긴 물체에 작용하는 응력 유형과 같기 때문입니다. 정수압 응력 구성에서는 세 개의 주응력이 항상 같고, 전단 응력은 없습니다. 3축 응력 상태의 경우, 수압 성분은 세 주응력의 평균으로 계산할 수 있습니다.​​

 

연성 재료의 항복을 유발하는 메커니즘은 전단 변형입니다. 정수압 응력 상태에서는 전단 응력이 없으므로, 이 성분이 아무리 커도 항복에 기여하지 않습니다. 항복은 오직 형상 변형을 유발하는 응력에 의해서만 발생합니다.

• 편차 응력 (Deviatoric Stresses) : 형상 변형을 유발하는 응력을 편차 응력이라고 합니다. 편차 성분은 각 주응력에서 수압 성분을 빼서 계산합니다. 정수압 및 편차 성분은 행렬 형식으로 표현할 수 있습니다.

 

모어의 원(Mohr's circle)을 사용하여 3축 응력 상태의 정수압 및 편차 성분을 이해하는 데 도움이 될 수 있습니다. 정수압 응력 구성의 경우 전단 응력이 없으므로 모어의 원은 단일 점으로 축소되며, 이는 세 주응력의 평균과 같습니다.

 

 

모어의 원을 수평으로 이동시키는 것은 수압 성분의 증가를 나타냅니다. 평균 응력을 변경하지 않고 모어의 원의 반지름을 증가시키는 것은 편차 성분의 증가를 나타냅니다. 연성 재료의 파괴는 편차 성분에만 의존하므로, 연성 재료에 대한 좋은 파괴 이론은 모어의 원이 수평 축의 어느 위치에 있든 동일한 결과를 내야 합니다.

이것이 최대 주응력 이론이 연성 재료에 대한 좋은 파괴 이론이 아닌 이유를 설명합니다. 이 이론은 항복이 정수압 응력과 무관하다는 관찰과 일치하지 않습니다.

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5. 트레스카 & 폰 미세스: 연성 재료의 표준 이론 🎯

이러한 관찰과 일치하는 두 가지 파괴 이론은 트레스카(Tresca) 파괴 기준과 폰 미세스(von Mises) 파괴 기준입니다. 이들은 연성 재료에 가장 일반적으로 사용되는 두 가지 파괴 이론입니다.

5.1. 트레스카 파괴 기준 (최대 전단 응력 이론) ✂️

프랑스 공학자 앙리 트레스카(Henri Tresca)의 이름을 따서 명명된 이 이론은 최대 전단 응력이 인장 시험에서 항복 시의 전단 응력과 같을 때 항복이 발생한다고 말합니다. 이를 수학적으로 정의할 수 있습니다.

 

이 이론은 정수압 응력이 항복에 영향을 미치지 않는다는 관찰과 일치합니다. 모어의 원이 수평 축의 어느 위치에 있든 상관하지 않습니다. 이 이론을 전단 응력의 함수가 아닌 주응력의 함수로 표현하는 것이 일반적입니다.

 

트레스카 이론 표준공식

 

3축 응력 상태에 대한 모어의 원을 기반으로 할 때, 최대 전단 응력은 가장 바깥쪽 원의 반지름, 즉 최대 주응력과 최소 주응력의 차이를 2로 나눈 것과 같습니다. 항복 시의 단축 인장 시험에 대한 모어의 원은 다음과 같습니다. 중간 및 최소 주응력(σ2​ 및 σ3​)은 0과 같고, 최대 주응력(σ1​)은 재료의 항복 강도(σy​)와 같습니다.

항복 시의 전단 응력은 재료 항복 강도의 절반과 같으므로, 우리 방정식을 다시 작성하여 트레스카 이론의 표준 공식을 얻을 수 있습니다.

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5.2. 본 미세스 파괴 기준 (최대 변형 에너지 이론) 🌀

다음으로 살펴볼 것은 본 미세스 파괴 기준으로, '최대 변형 에너지 이론(maximum distortion energy theory)'이라고도 합니다. 이 이론은 오스트리아 과학자 리처드 본 미세스(Richard von Mises)에 의해 처음 개발되었지만, 다른 여러 사람들이 이를 개선하는 데 참여했기 때문에 때로는 맥스웰-후버-헨키-본 미세스(Maxwell–Huber–Hencky–von Mises) 이론이라고도 불립니다.

 

이 이론은 재료의 최대 변형 에너지가 일축 인장 시험에서 항복 시의 변형 에너지와 같을 때 항복이 발생한다고 말합니다. 그렇다면 변형 에너지는 무엇일까요? 본질적으로 응력을 받는 요소의 변형 에너지 중 편차 응력의 효과에 해당하는 부분입니다. 단위 부피당 변형 에너지는 다음 방정식을 사용하여 주응력으로부터 계산할 수 있습니다.

변형에너지

 

항복 시 인장 시험에서 최대 주응력은 재료의 항복 강도와 같고, 다른 두 주응력은 0과 같습니다. 따라서 적절한 주응력 값을 대입하여 인장 시험에서 항복 시의 변형 에너지를 계산할 수 있습니다. 그리고 항복 시의 변형 에너지를 3축 응력 상태에 대한 일반 방정식과 같다고 놓고 약간 재배열하면 본 미세스 파괴 기준을 정의하는 방정식을 얻게 됩니다.

 

본 미세스 파괴기준

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다시 한번 이 이론이 주응력 간의 차이를 고려하며, 따라서 정수압 응력과 무관하다는 것을 알 수 있습니다.

왼쪽 항은 종종 '등가 본 미세스 응력(equivalent von Mises stress)'이라고 불립니다. 이 값이 재료의 항복 강도보다 크면 항복이 발생한 것으로 예측됩니다. 등가 본 미세스 응력은 유한 요소법을 사용하여 수행되는 응력 분석에서 흔히 출력되는 값입니다.

 

일반적으로 등고선 플롯(contour plots)은 구성 요소 내의 본 미세스 등가 응력 분포를 보여주기 위해 생성되는데, 이는 항복 위험이 있는 영역을 식별할 수 있게 해줍니다. 📊

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6. 항복면 : 파괴 이론 시각화 🖼️

파괴 이론을 비교할 때 항복면(yield surfaces)을 플로팅하는 것이 유용할 수 있습니다. 

간단하게 하기 위해 세 주응력 중 하나가 0인 평면 응력 사례부터 시작하겠습니다. 관례적으로 주응력은 가장 큰 것부터 가장 작은 것까지 순서대로 정렬되지만, 응력이 어떻게 정렬될지 아직 모르므로 σA​, σB​, σC​로 지칭하겠습니다. σC​가 0이라고 가정하면, 항복면 그래프의 두 축은 두 개의 0이 아닌 주응력 σA​와 σB​에 해당합니다.

 

 

 

• 최대 주응력 이론의 항복면 : 이 이론은 이 주응력 중 하나가 재료의 항복 강도와 같을 때 항복이 시작된다고 말하므로 플로팅하기 쉽습니다. 응력 상태가 선에 도달하면 항복이 발생한 것으로 간주됩니다.

 

• 트레스카 이론의 항복면 : 이 이론은 최대 주응력과 최소 주응력의 차이가 재료의 항복 강도와 같을 때 항복이 발생한다고 말합니다. 하지만 σA​와 σB​의 차이를 취하는 것만큼 간단하지 않습니다. 그래프의 오른쪽 위 사분면에서 σA​와 σB​는 모두 양수이므로, 0과 같은 σC​는 최소 주응력입니다. 하지만 오른쪽 아래 사분면에서 σB​는 음수이므로 σB​는 최소 주응력입니다. 이렇게 하면 다음과 같은 항복면이 나옵니다. 이 과정을 다른 두 사분면에 대해 반복하면 트레스카 항복면이 완성됩니다.

트레스카 항복면

 

• 본 미세스 이론의 항복면 : 평면 응력 조건에 대한 본 미세스 항복 이론은 주응력으로 표현될 때 다음 방정식을 사용하여 정의됩니다.방정식의 양변을 제곱하면 타원의 형태와 같다는 것을 알 수 있으며, 이는 본 미세스 항복면을 제공합니다.

본 미세스 항복면

 

연성 재료에 대해 수행된 시험의 일부 실험 데이터를 플로팅하고 각 이론이 어떻게 비교되는지 살펴보겠습니다. 최대 주응력 이론은 사용 시 잠재적으로 안전하지 않은 넓은 영역을 가지고 있다는 것이 분명합니다. 따라서 이를 제외하고 트레스카와 폰 미세스 이론을 비교해 봅시다. 둘 다 실험 관찰과 잘 일치하지만, 본 미세스가 약간 더 잘 일치합니다. 트레스카 항복면은 폰 미세스 항복면 안에 완전히 놓여 있으며, 이는 트레스카가 더 보수적이라는 것을 의미합니다.

 

하중이 가해질 때 주응력이 서로 비례하여 증가하고, 따라서 응력 경로가 직선이라고 가정하면, 트레스카와 폰 미세스 이론 간의 차이는 이 세 가지 구성에서 가장 큽니다. 두 이론 간의 최대 차이는 15.5%로 계산될 수 있습니다. 본 미세스는 실험 데이터와 더 잘 일치하기 때문에 일반적으로 트레스카보다 선호되지만, 트레스카는 적용하기 더 쉽고 더 보수적이기 때문에 때때로 사용되기도 합니다.

본 미세스 이론과 트레스카 이론의 차이

 

 

7. 취성 재료의 파괴: 인장 및 압축 강도의 차이 고려 💔

취성 재료의 특성

 

취성 재료의 파괴는 연성 재료의 파괴와 다릅니다. 취성 재료의 경우 파괴는 항복보다는 파단에 의해 발생하는 것으로 간주됩니다. 그리고 연성 재료와 달리 취성 재료는 인장 강도보다 압축 강도가 훨씬 큰 경향이 있습니다. 이러한 특성은 취성 재료에 대한 모든 파괴 이론에 반영되어야 합니다. 또한 취성 재료의 파괴를 평가하려면 인장과 압축에 대한 두 가지 개별적인 극한 강도를 알아야 한다는 의미이기도 합니다.

 

쿨롱 모어 이론

 

쿨롱-모어(Coulomb-Mohr) 이론은 취성 재료에 자주 사용되는 파괴 이론입니다. 우리가 보았던 연성 재료에 대한 이론과 달리, 이 이론은 파괴가 정수압 응력에 민감하다고 간주하며, 인장 및 압축 극한 강도 간의 차이를 고려합니다. 이 이론을 정의하는 가장 쉬운 방법은 모어의 원을 사용하는 것입니다. 일축 인장 및 압축 시험에서 파괴에 해당하는 모어의 원을 그리는 것으로 시작합니다. 두 원에 접하는 선을 그림으로써 파괴 포락선(failure envelope)을 만들 수 있습니다. 쿨롱-모어 이론은 모어의 원이 이 포락선에 도달하는 응력 상태에 대해 재료가 파괴되는 것으로 간주 합니다.

 

 쿨롱-모어 이론의 평면 응력 파괴면은 다음과 같습니다. 보시다시피 오른쪽 아래 사분면의 실험 데이터와 특히 잘 일치하지 않습니다.

수정된 모어 이론

 

수정된 모어(Modified Mohr) 이론은 이 이론의 약간의 변형으로, 실험 데이터에 더 잘 맞습니다. 이는 취성 재료에 선호되는 일반적인 파괴 이론 중 하나입니다. 

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🔑 결 론 : 복잡한 파괴 현상을 이해하는 열쇠 

지금까지 파괴 이론에 대한 소개를 마무리하며, 가장 일반적인 이론들을 다루어 보았습니다. 재료에 하중이 가해질 때 파괴가 발생하는 시점을 예측하는 것은 구조물의 안전과 신뢰성을 보장하는 데 필수적인 과제입니다. 우리는 파괴의 정의부터 시작하여 연성 재료와 취성 재료의 파괴 메커니즘이 어떻게 다른지 이해했습니다. 특히 연성 재료의 경우, 정수압 응력의 독립성이라는 중요한 관찰을 기반으로 한 트레스카와 본 미세스 이론이 어떻게 더 정확한 예측을 제공하는지 살펴보았습니다. 본 미세스 이론은 실험 데이터와 더 잘 일치하여 현대 유한 요소 해석에서 널리 사용되는 반면, 트레스카 이론은 더 보수적인 예측을 제공하여 설계 시 안전 여유를 확보하는 데 유용할 수 있습니다. 취성 재료의 경우, 인장 및 압축 강도의 차이를 고려하는 쿨롱-모어 이론과 그 변형인 수정된 모어 이론이 중요하게 다루어졌습니다. 이처럼 다양한 파괴 이론들은 각기 다른 재료와 응력 조건에 최적화되어 있으며, 공학자들은 주어진 상황에 가장 적합한 이론을 선택하여 구조물의 파괴를 예측하고 안전한 설계를 수행합니다. 파괴 이론에 대한 깊은 이해는 구조물의 성능을 최적화하고 잠재적인 위험을 최소화하는 데 핵심적인 역량이 될 것입니다.

 

 

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