💡유한요소해석법(Finite Element Method)

안녕하세요, 구조역학에 관심 있는 여러분! 빔의 처짐이나 평판의 응력을 계산해야 할 때, 전통적인 해석 방법으로는 해결하기 어려운 문제에 부딪힌 적이 있으신가요? 🤯 복잡한 형상, 하중 조건, 혹은 다양한 재료 특성 때문에 막막함을 느끼셨을 수도 있습니다. 하지만 걱정하지 마세요! 현대 엔지니어링의 필수 도구인 '유한요소해석법(Finite Element Method, FEM)'이 여러분의 고민을 해결해 드릴 것입니다. 이 글에서는 유한요소해석법이 무엇이며, 어떻게 복잡한 구조 문제를 해결하는 데 사용되는지 쉽고 명확하게 설명해 드리겠습니다. 함께 이 강력한 해석 기법의 세계로 떠나볼까요? 🚀

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1. 유한요소해석법(FEM)이란 무엇인가요? 💡

유한요소해석법은 복잡한 구조역학 문제를 계산적으로 풀어내는 강력한 수치 해석 기법입니다. 기존의 방법으로는 해결하기 어려운 문제, 예를 들어 위성 부품이 발사 조건을 견딜 수 있는지 확인하거나, 자동차 서스펜션 시스템의 로어 컨트롤 암과 같은 자동차 부품의 설계를 최적화하는 데 광범위하게 활용됩니다. 🚗 뿐만 아니라, 정적, 동적, 좌굴, 모드 해석을 포함한 광범위한 고체 역학 문제를 분석할 수 있으며, 유체 흐름, 열 전달, 전자기 문제에도 적용 가능합니다.

유한요소해석법 (출처:The Efficient Engineer)

 

이 글에서는 유한요소해석법이 정적 선형 탄성 응력 해석에 어떻게 적용되는지에 초점을 맞춰 설명하겠습니다.

에어컨 장치를 지지하는 브래킷을 분석한다고 상상해 봅시다. 정적 응력 해석의 목표는 일반적으로 브래킷 내의 응력, 변형률 및 변위를 계산하는 것입니다.

브래킷 유한요소해석 (출처:The Efficient Engineer)

 

이러한 미지수를 "필드 변수(field variables)"라고 부릅니다. 물체 내부에 발생하는 내부 응력은 물체의 모든 체적에 걸쳐 평형을 유지하도록 하므로, 우리는 평형 개념을 적용하여 필드 변수를 계산할 수 있습니다. 단순한 빔의 경우 굽힘 모멘트와 전단력을 계산하고, 이를 통해 빔의 수직 및 전단 응력을 계산할 수 있습니다. 그러나 이 브래킷과 같은 2차원 형상에 대해 평형을 적용하는 것은 어렵고, 3차원 물체의 경우 훨씬 더 복잡해집니다.

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2. 문제 해결의 첫걸음: 이산화(Discretisation) 쪼개고 연결하기 🧩

유한요소해석법은 이 문제를 해결하기 위해 물체를 여러 개의 작은 요소(element)로 분할하고, 이 요소들을 절점(node)에서 연결하는 방식으로 접근합니다. 이 과정을 '이산화(Discretisation)'라고 하며, 절점과 요소의 집합을 '메쉬(mesh)'라고 부릅니다. 🕸️

지지대 메쉬

 

이산화는 평형 요구 사항을 전체 물체에 걸쳐 연속적으로 만족시키는 대신, 유한한 수의 이산 요소에 대해서만 만족시키면 되므로 매우 유용합니다. 그리고 다양한 요소 형상을 사용할 수 있습니다. 이 브래킷을 모델링하기 위해 삼각형 표면 요소(surface element)를 사용했습니다.

요소의 종류

• 표면 요소(Surface Elements) : 얇은 표면을 모델링하는 데 사용되는 2차원 요소입니다. 삼각형 또는 사각형 형태가 있습니다. 삼각형 요소는 불규칙한 형상을 모델링하는 데 좋지만, 사각형 요소가 더 좋은 성능을 보이는 경향이 있습니다.
• 솔리드 요소(Solid Elements) : 3차원 물체에 사용됩니다.
• 선 요소(Line Elements) : 1차원 구조물에 사용됩니다.

모델에 적합한 요소를 선택하는 것은 분석 대상에 따라 달라지며, 상당한 전문 지식을 요구합니다. 🧐 브래킷의 경우, 문제의 단순화 정도에 따라 솔리드 요소 또는 선 요소를 사용할 수도 있습니다. 같은 형상의 요소라도 수백 가지의 다른 유형이 있으며, 각각 다른 공식과 다른 수준의 근사치를 제공합니다. 예를 들어, 선 요소는 축 방향 하중만 전달하는 바(bar) 요소가 될 수도 있고, 축, 굽힘, 전단 및 비틀림 하중을 전달할 수 있는 빔(beam) 요소가 될 수도 있습니다.

 

브래킷이 얇고 모든 하중이 같은 평면에 가해지므로, 평면 응력 표면 요소(plane stress surface elements)를 사용하여 브래킷을 모델링할 수 있습니다. 이는 여러 표면 요소 유형 중 하나에 불과합니다. 이들은 모두 1차 요소(first order element)이지만, 추가적인 중간 절점(mid-side node)을 가지는 2차 요소(second order element)를 사용할 수도 있으며, 이들은 더 정확합니다.

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3. 변위 계산의 핵심: 강성 행렬 (Stiffness Matrix) 📊

응력 해석 문제에서 우리가 계산하고자 하는 기본적인 변수는 각 절점의 변위입니다. 하중이 가해질 때 물체가 어떻게 변형되는지 알면, 응력이나 변형률과 같은 2차 결과값을 쉽게 계산할 수 있습니다. 각 요소에 대해 회전을 포함하여 요소 절점의 가능한 모든 변위를 포함하는 벡터 u를 정의할 수 있습니다.

 

2차원 빔 요소를 사용하여 2차원 해석을 하는 경우, 각 절점은 X 및 Y 축을 따라 이동할 수 있고 Z 축을 중심으로 회전할 수 있으므로, 벡터 u는 다음과 같습니다.

 

​$$\left\{\begin{array}{c}u\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}{u}_1\\ v_1\\ {\theta }_1\\ u_2\\ v_2\\ {\theta }_2\end{array}\right\}$$

변위벡터

 

 

이러한 각각 변위를 '자유도(Degree of Freedom, DOF)'라고 합니다. 빔 요소의 경우 절점당 3개의 자유도, 총 6개의 자유도를 가집니다. 3차원 해석의 경우 절점당 6개의 자유도로 증가합니다. 쉘 요소의 절점은 2차원에서 3개의 자유도를 가지지만, 요소에 4개의 절점이 있으므로 총 12개의 자유도를 가집니다. 솔리드 요소의 절점은 3개의 이동 자유도만 가집니다. 절점은 회전할 수 없으며, 대신 요소의 회전은 절점의 이동 운동으로 포착됩니다.

 

그렇다면 메쉬의 모든 절점에서 모든 변위를 어떻게 계산할 수 있을까요?

 

스프링의 경우, 힘과 변위 사이의 관계는 훅의 법칙(Hooke's Law)에 의해 정의됩니다. 스프링의 강성 k는 주어진 힘에 대해 용수철이 얼마나 변위될지를 결정합니다.

스프링 강성

 

마찬가지로, 메쉬의 요소를 변형에 저항하는 특정 강성을 가진다고 생각할 수 있습니다. 다음 방정식에서 f는 절점 힘과 모멘트의 벡터이고, u는 절점 변위의 벡터이며, [k]는 요소의 강성 행렬(stiffness matrix)입니다.

 

2차원 빔 요소는 6개의 자유도를 가지므로, 변위 벡터는 다음과 같습니다.

변위벡터

 

​ 그리고 힘 벡터와 강성 행렬은 다음과 같습니다.

힘벡터, 강성행렬

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​요소 강성 행렬은 절점에 가해지는 힘과 모멘트에 대해 요소의 각 절점이 얼마나 변위될지를 정의하므로, 메쉬의 모든 절점에서 변위를 해결하는 데 핵심입니다. 이는 정사각형 행렬이며, 행과 열의 수는 요소의 자유도 수와 같습니다.

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4. 전체 구조를 아우르는 : 전체 강성 행렬 (Global Stiffness Matrix) 🌍

이제 다음 단계를 더 쉽게 시각화하기 위해 강성 행렬을 더 추상적인 형태로 나타내 보겠습니다. 이것은 하나의 요소에 불과하지만, 전체 메쉬는 더 많은 요소로 구성됩니다. 세 개의 2차원 빔 요소로 구성된 메쉬를 사용하여 외팔보(cantilever beam)를 모델링하는 간단한 예를 살펴보겠습니다.

캔틸레버보 모델링

 

메쉬의 모든 요소에 대한 개별 강성 행렬을 하나의 거대한 '전체 강성 행렬(Global Stiffness Matrix)'로 통합할 수 있습니다. 이 행렬은 하중이 가해질 때 전체 구조가 어떻게 변위될지를 정의합니다. 요소 강성 행렬과 마찬가지로 전체 강성 행렬은 정사각형 행렬이며, 행과 열의 수는 모델의 총 자유도 수와 같습니다.

 

전체강성행렬 산정

 

요소 강성 행렬은 요소들이 어떻게 연결되어 있는지에 따라 전체 강성 행렬로 조립됩니다. 예를 들어, 요소 1과 2는 절점 2에서 연결됩니다. 연속성 원리에 따르면, 이 두 요소가 같은 절점에서 연결되어 있으므로, 공통 절점에서의 두 요소의 변위는 같아야 합니다. 따라서 전역 강성 행렬을 조립할 때, 절점 2에 해당하는 요소 강성 행렬의 항은 각 자유도에 대해 합산되어야 합니다. 요소 3은 절점 2에 연결되어 있지 않으므로, 이 요소의 강성 행렬은 절점 2의 변위에 영향을 미치지 않아야 합니다.

 

전체강성행렬

 

이것이 이 모델의 실제 전체 강성 행렬의 모습입니다. 몇 가지 흥미로운 특징이 있습니다. 많은 0을 포함하기 때문에 '희소(sparse)'하다고 하며, 0이 아닌 항들이 대각선 주위에 모여 있기 때문에 '밴드형(banded)'이라고 합니다. 선형 탄성 문제의 경우 행렬은 '대칭(symmetric)'이기도 합니다.

 

 

만약 세 요소가 다르게 연결되도록 메쉬를 수정하면, 전역 강성 행렬이 변경됩니다. 이 경우 4개의 절점 대신 3개의 절점을 가지므로 행렬이 더 작아지며, 요소 1과 3이 연결되어 있다는 사실이 행렬에 반영됩니다. 여기서 중요한 점은 요소들이 더 이상 같은 좌표계에 정렬되어 있지 않으므로, 각 요소의 강성 행렬을 전역 좌표계에 정렬하도록 변환해야 한다는 것입니다. 이는 각 요소 강성 행렬에 회전 행렬을 곱하여 수행할 수 있습니다.

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5. 문제 해결과 결과 도출 : 경계 조건, 하중 및 후처리 🖥️

이제 전역 강성 행렬을 조립했으므로, 각 절점의 변위를 얻기 위해 이 방정식을 풀어야 합니다. 이를 위해 외부 하중(external loads)과 경계 조건(boundary conditions)을 정의해야 합니다. 경계 조건은 특정 절점에서 알려진 변위를 의미하며, 일반적으로 특정 자유도가 고정되어 있기 때문입니다. 이 모델에서 절점 1에서는 수직 및 수평 이동이 고정되어 있고, 절점 2에서는 수직 이동이 고정되어 있으므로 변위 벡터는 다음과 같습니다.

변위벡터

​ 그리고 힘 벡터는 다음과 같습니다.

힘 벡터

 

여기에는 적용된 힘과 지지대에서의 반력이 포함됩니다. 이제 방정식을 풀 수 있습니다. 전역 강성 행렬을 역행렬하여 변위를 얻을 수도 있습니다. 그러나 실제로는 행렬을 역행렬하는 것이 효율적이지 않으며, 특히 희소 행렬이기 때문입니다. 상업용 솔버는 주로 공액 기울기법(conjugate gradient method)과 같이 변위 벡터를 반복적으로 근사하는 방법을 사용합니다.

 

 

절점 변위를 해결한 후, 메쉬 전체의 변형률과 응력을 계산할 수 있습니다. 일반적인 유한요소 메쉬는 수십만 개의 자유도를 가질 수 있으며, 이는 수작업으로 해결하는 것이 불가능합니다. 따라서 매우 기본적인 모델보다 복잡한 모델에 유한요소해석법을 적용하려면 적절한 소프트웨어 사용이 필수적입니다. 💻

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6. 유한요소해석법의 핵심 단계 요약 📝

이제 유한요소해석법의 모든 핵심 측면을 다루었습니다. 요약하자면, 유한요소해석법의 첫 번째 단계는 관련 재료 특성, 하중 및 경계 조건을 포함하여 문제를 정의하는 것입니다.

1. 문제 정의 : 해석하려는 구조물의 재료 특성, 가해지는 하중, 그리고 고정되거나 지지되는 부분인 경계 조건을 명확히 설정합니다. ⚙️
2.  이산화 및 요소선택 : 분석 대상 물체를 절점에서 연결된 여러 개의 작은 요소로 분할하고, 적절한 요소 유형을 선택합니다. 🧩
3. 요소 강성 행렬 정의 : 각 요소에 대한 강성 행렬을 정의합니다. 🔢
4. 전체 강성 행렬 조립 : 요소 연결성을 기반으로 요소 강성 행렬을 전체 강성 행렬로 조립합니다. 🏗️
5. 변위 계산 : 이 전체 강성 행렬은 구조물이 가해지는 하중에 어떻게 반응할지를 정의하며, 이를 경계 조건과 함께 사용하여 구조물 내 각 절점의 변위를 해결합니다. 📍
6. 응력, 변형률 및 기타 변수 계산 : 변위를 얻으면 관심 있는 응력, 변형률 및 기타 변수를 계산할 수 있습니다. 📊
7. 결과 후처리 및 검증 : 마지막으로 원하는 결과를 얻기 위한 후처리(post-processing)와 모델의 검증(validation) 단계가 남아 있습니다. 📈

요소 강성 행렬 계산, 전체 강성 행렬 조립 및 모델 해결과 같은 많은 어려운 작업은 사용되는 소프트웨어에 의해 수행됩니다. 그러나 엔지니어는 문제가 제대로 정의되었는지, 메쉬가 적합한지, 그리고 결과를 해석하고 검증하는 역할을 담당합니다. 🧑‍💻

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결론 : 유한요소해석법, 미래를 설계하는 강력한 도구 🌟

유한요소해석법(FEM)은 현대 엔지니어링에서 빼놓을 수 없는 강력한 수치 해석 도구입니다. 복잡한 형상, 다양한 하중 조건, 그리고 이질적인 재료 특성을 가진 구조물에 대한 정확한 분석을 가능하게 함으로써, 설계 검증, 성능 최적화, 그리고 잠재적 문제점 예측에 필수적인 역할을 수행합니다. 이 방법은 전체 구조물을 작은 요소로 나누어 각 요소의 거동을 개별적으로 분석한 다음, 이들을 통합하여 전체 시스템의 반응을 예측하는 원리를 따릅니다.

 

핵심적으로, FEM은 각 요소의 강성 특성을 나타내는 강성 행렬을 유도하고, 이들을 조합하여 전체 구조의 거동을 나타내는 전체 강성 행렬을 구성합니다. 여기에 외부 하중과 경계 조건을 적용함으로써, 구조물 내 각 절점의 변위를 계산하고, 이를 통해 응력, 변형률과 같은 핵심적인 물리량을 도출합니다. 이 모든 과정은 방대한 계산량을 요구하지만, 현대의 강력한 컴퓨터와 전문 소프트웨어 덕분에 이제는 복잡한 시스템도 효율적으로 분석할 수 있게 되었습니다.

 

유한요소해석법은 단순한 계산 도구를 넘어, 엔지니어가 혁신적인 설계를 구상하고, 제품의 안전성과 효율성을 극대화하며, 나아가 산업 전반의 발전을 이끌어내는 데 기여하는 핵심적인 방법론입니다. 이 글을 통해 유한요소해석법의 기본 원리와 그 중요성을 이해하는 데 도움이 되셨기를 바랍니다. 앞으로도 이 강력한 도구를 통해 더 나은 미래를 설계하고 만들어가는 데 기여할 수 있기를 기대합니다. 💡

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